Gewöhnliche Differentialgleichungen nebst Anwendungen by Dr. Fritz Iseli (auth.)

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Das mit der Winkelgeschwindigkeit w:J. sich drehende Schwungrad werde durch Reibung an einem festen Körper durch das konstante Drehmoment M = -a gebremst, gegen das die Lagerund Luftreibung -b dd~ nicht in Betracht falle. Unter diesen Umständen entsteht aus (4) die Gleichung dw J Tt = -a. Abb. 25. Reibungsvorzahl. a Ihre allgemeine Lösung ist W = -7 t fangsbedingung W = Einzellösung = digkeit W W w1 + c, woraus zufolge der An- w1 für t = 0 die der Aufgabe entsprechende - ~ t gefunden wird. Die Winkelgeschwin- nimmt linear ab.

Zunächst beschäftigt uns die Funktion y = sin yt, deren Schaubild eine Sinuskurve ist. Dem Momentanwert tl entspricht der Funktionswert sinytl . Um wieviel muß ytl wachsen, bis der die Kurve erzeugende Punkt eine halbe Sinusschwingung beschrieben hat~ Offenbar um n; denn es ist sin(yt l + n) = -sinytl . Dem Zuwachs von ytl um 2n entspricht eine ganze Sinusschwingung, weil sin(ytl + 2n) = sinytl ist, usf. Nun schreiben wir ytl 80 +n = y(t l + ~), d. h. erfährt t l den Zuwachs ~, beschreibt der die Sinuskurve erzeugende Punkt eine halbe 2)'' '} Sinusschwingung.

Wir schlagen besser folgenden Weg ein. Zunächst betrachten wir die Funktion e= 5e-O,lt, (2) worin e und t Polarkoordinaten sind. Sie ist eine logarithmische Spirale. Für t = wird e = 5. Bei wachsendem t strebt der Fahrstrahl e dem Werte Null zu. Wir logarithmieren Gleichung (2): ° tl O/21/: loge - log5 - 0,1 tloge = 0,69 - 0,043 t. (3) - - - , - Das auf Exponentialpapier gezeichnete Schaubild von e 5 2,67 (3) ist eine Gerade, die Exponentialgerade der Funktion (2). Um sie zeichnen zu können, wurde vorstehende kleine Tabelle berechnet.

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