Esercizi e complementi di analisi matematica vol. 2 by Enrico Giusti

By Enrico Giusti

Enrico Giusti si è laureato in Fisica nel 1963 all'Università di Roma "La Sapienza". Nel 1978 l'Unione Matematica Italiana gli ha conferito il Premio Caccioppoli [1]; nel 1999 ha ricevuto los angeles medaglia in keeping with l. a. Matematica dell’Accademia Nazionale delle Scienze (dei XL).

Giusti ha insegnato Analisi Matematica in qualità di professore straordinario prima e ordinario poi, nelle università di L'Aquila, Trento e Firenze. Ha inoltre svolto attività di ricerca e di insegnamento presso l'Università della California, alla Stanford college e presso l'Australian nationwide collage di Canberra. Le sue ricerche hanno riguardato, in una prima parte della sua carriera, principalmente il settore del Calcolo delle Variazioni, con particolare riferimento alla teoria delle superfici minime, e alla teoria della regolarità according to le equazioni alle derivate parziali. I suoi interessi si rivolgono oggi prevalentemente a vari aspetti della Storia della Matematica. Attualmente si occupa anche di promuovere e gestire Il Giardino di Archimede, il primo museo completamente dedicato alla matematica e alle sue applicazioni.

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Consider H(x) G C(Sa U Sb) with H(x)\s. <(n,n) where x G T if and only if λ 2 (χ) = μ2(#) = 0, where we have set Xi(u°) = = 0, and X^u1) = μ^υ,1) = 1. μι(η°) In the following, we will use the notation a = (i, j , k) and P ^m — R ^ nm 0 1 ** - m + l «·*^·- ·* _i_ i 1 _ + l, 1 3 m + l) i n m — n m+ l ai k > - a ° ■ Also, let p and ç be determined by the equation w3 - u° = p{ul - u°) + q(v2 - u°). L e m m a 5. For each r G Z+, H{x) G Cr(Sa U 5^) if and oniy if Akbjo = Rk(pA10 + qA20)ka»Ik_k^o for all j = 0 , .

Hence we conclude that Τμ(-\Χ) and £ μ (·|Χ) belong locally to Dß(X). Structure of Όμ(Χ): Let Bt(X) = {Y ÇX: dim(y) = \Y\ = £}. ,(I) = s p a n { e ^ » : y G ß e (X),p G A ) ( * r ) } . Then a direct computation shows that G,(X) C D„{X). With a lengthy and difficult argument we will demonstrate below that equality holds above and that dim Όμ(Χ) = dim DQ(X) for any μ G C n . We remark that Ron showed Ομ(-\Χ) is locally in ομ(Χ) and also established equality above in the simple case; that is, when uy φ uy/, if Y φ Y',Υ,Υ' G BS(X)> This condition excludes the important special case μ = 0.

9) J i,j = l This result is not valid for d > 1. Yet it is shown in [6]: T h e o r e m 5. , points y 1 , . . , y4 satisfying for some μ G (2,4) xN G M2 there exist four det {n»* - i^'ir},^! < o. ,xN span{\\x — χι\\μ, i = 1 , . . , N} has a unique by a function solution. 10) are given in [6]. Interpolation by Radial Functions 53 3. Variâtional P r i n c i p l e s The conditionally positive definiteness of a radial function leads to the optimality of the corresponding interpolant. For the case of a positive definite function /i(x), x G IR , the construction of a Hilbert space H in which h(x — y) is the reproducing kernel, and the interpolant S(x) = 2 i = i aih(x ~ χ1) a t x 1 , .

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