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34 (ou se volt directement, au choix). I1 est clair que cela d~finit sur P une structure d'espace homog~ne principal ~ gauche sur pA. Remarque. Si A e t A' sont deux G-groupes, on ddfinit de mani~re Svidente la notion d'espace (A, A')-principah c'est un espace principal sur A (~ gauche), et sur A' (~ droite), les operations de A e t A' commutant. Si P est un tel espace, le corollaire precedent montre que A s'identifie ~ p A ~. Si Q est un espace (A', A")principal (A" ~tant un autre G-groupe), l'espace P o Q = P × A'Q est muni d'une structure canonique d'espace (A', A")-principal.

T o r s i o n Soit A un G-groupe, et soit P u n espace principal homog~ne sur A. Soit F u n G-ensemble off A op~re ~ gauche (de fa~on compatible avec G). a, a-Z f ) , a E A. Cette relation est compatible avec l'action de G, et le quotient est un G-ensemble, notd P x AF, ou pF. f, p E P, f E F, et l'on a (pa)f = p(af), ce qui justifie la notation. Noter que, pour tout p E P, l'application f ~-* p. f e s t une bijection de F sur p F ; pour cette raison, on dit que p F est obtenu ~ partir de F en tordant au moyen de P.

35 et 35 bis, pour ~videntes qu'elles soient, n'en sont pas moins utiles. Ce sont elles, on le verra, qui permettent de d~terminer les relations d'~quivalence qui interviennent dans les diverses "suites exactes de cohomologie'. 4. Suite exacte de cohomologie associ~e ~ un sous-groupe 47 Exercice. Soit A un G-groupe. Soit E(A) l'ensemble des classes d'espaces (A, A)-principaux. Montrer que la composition fait de E(A) un groupe, et que ce groupe op~re sur Hi(G, A). Si A est ab~lien, E(A) est produit semi-direct de Aut(A) par le groupe Hi(G, A).