Algèbre commutative [Lecture notes] by Antoine Chambert-Loir

By Antoine Chambert-Loir

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Produits et des sommes directes de modules satisfont une propriété universelle que nous énonçons maintenant. 19. — Soit A un anneau et soit (Ms ) une famille de A-modules à droite. a) Pour tout A-module M et toute famille ( fs ) de morphismes fs : M → Ms , il existe un unique morphisme f : M → s Ms tel que pour tout s, ps ◦ f = fs . b) Pour tout A-module M et toute famille ( fs ) de morphismes fs : Ms → M, il existe un unique morphisme f : s Ms → M tel que pour tout s, f ◦ i s = fs . Démonstration.

A) Quels sont les éléments inversibles de l’anneau des nombres décimaux ? b) Montrer qu’un élément a ∈ A est inversible dans S −1 A si et seulement s’il existe b ∈ A tel que ab ∈ S. c) Si T est une partie multiplicative de A qui contient S, construire un homomorphisme d’anneaux de S −1 A dans T −1 A. d) Soit S˜ l’ensemble des éléments de A dont l’image est inversible dans S −1 A. Montrer que l’homomorphisme d’anneaux canonique de S −1 A dans S˜−1 A est un isomorphisme. On donnera une démonstration explicite ainsi qu’une démonstration utilisant la propriété universelle.

Soit x ∈ A/J un élément tel que ϕ(x) = 0. Soit a ∈ A tel que x = cl J (a). Par définition de ϕ, on a ϕ(x) = cl J/I ◦ cl I(a) = 0, c’est-àdire a ∈ J. Ainsi, x = 0 et l’homomorphisme ϕ est injectif. 5. 38. — Soit f : A → B un morphisme d’anneaux et soit I un idéal bilatère de A contenu dans ker f . Soit f¯ : A/I → B l’homomorphisme fourni par le théorème de factorisation. Alors, le noyau de f¯ est égal à (ker f )/I. Démonstration. — En effet, si f¯(x) = 0, soit a ∈ A tel que x = cl(a). On a alors f (a) = 0, d’où a ∈ ker f et x = cl(a) ∈ cl(ker f ) = (ker f )/I.

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